matematicas discretas : USO DE RELACIONES

miércoles, 19 de junio de 2013

USO DE RELACIONES

RELACIÓN:
Una relación $R_{\ }^{\ }$ , de los conjuntos $A_1, A_2, \ldots , A_n$ es un subconjunto del producto cartesiano $R\subseteq A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n$
Una relación binaria es una relación entre dos conjuntos.
El concepto de relación implica la idea de enumeración, de algunos de los elementos, de los conjuntos que forman tuplas.
$R(a_1,a_2, \ldots ,a_n) \qquad \mbox{o bien} \qquad (a_1,a_2, \ldots ,a_n) \in R$
Un caso particular es cuando todos los conjuntos de la relación son iguales: $A_1 = A_2 = \ldots = A_n$ en este caso se representa $A \times A \times \ldots \times A$ como $A^n \,$ , pudiéndose decir que la relación pertenece a A a la n.
$R\subseteq A^n$
TIPOS DE RELACIÓN:
En las relaciones se diferencian los tipos según el número de conjuntos en el producto cartesiano, que es el número de términos de la relación:
Relación unaria: un solo conjunto $R \subseteq A , \; R(a)$
Relación binaria: con dos conjuntos $R \subseteq A_1 \times A_2 , \; R(a_1,a_2)$
Relación ternaria: con tres conjuntos $R \subseteq A_1 \times A_2 \times A_3 , \; R(a_1,a_2,a_3)$
Relación cuaternaria: con cuatro conjuntos $R \subseteq A_1 \times A_2 \times A_3 \times A_4 , \; R(a_1,a_2,a_3,a_4)$
Relación n-aria: caso general con n conjuntos $R \subseteq A_1 \times A_2 \ldots \times A_n , \; R(a_1,a_2,\ldots,a_n)$
RELACIÓN BINARIA:
Es una relación matemática R entre los elementos entre los elementos de dos conjuntos A Y B este se puede representar mediante pares ordinados

$(a,b)\in A \times B$ relación ternaria
En matemáticas, una relación ternaria R es el conjunto de ternas, $(a,b,c) \in A \times B \times C$ que cumplen una determinada condición que define R
$R = \{ (a,b,c): \; a \in A \land b \in B \land c \in C \land R(a,b,c) = cierto \}$
RELACIÓN CUATERNARIA
En matemáticas, una relación cuaternaria R es el conjunto de cuaternas, $(a,b,c,d) \in A \times B \times C \times D$ que cumplen una determinada condición que define R
$R = \{ (a,b,c,d): \; a \in A \land b \in B \land c \in C \land d \in D \land R(a,b,c,d) = cierto \}$
Las dos proposiciones siguientes son correctas para representar una relación cuaternaria $R \,$ :
$R(a,b,c,d) \qquad \mbox{o bien} \qquad (a,b,c,d) \in R$
RELACIÓN UNARIA
En matemáticas, una relación unaria R, en un conjunto A, es el subconjunto de los elementos x de A que cumplen una determinada condición que define R:
$R = \{ x: \; x \in A \; \land \; R(x) = cierto \}$
RELACIÓN N.ARIA
En matemáticas, una relación n-aria R (o a menudo simplemente relación) es una generalización de la relación binaria, donde R está formada por una tupla de n términos:
$R= \{(x_1,x_2,\ldots , x_n): \; x_1 \in X_1 \; \land \; x_2 \in X_2 \; \land \; \ldots \;\land \; x_n \in X_n \; \land \; R(x_1,x_2, \ldots , x_n) = cierto \}$
Un predicado n-ario: $R(x_1,x_2, \ldots , x_n) = cierto$ es una función a valores de verdad de n variables.
Debido a que una relación como la anterior define de manera única un predicado n-ario que vale para $x_1,x_2,\ldots , x_n$ si y sólo si $(x_1,x_2,\ldots , x_n)$ está en $R \,$ , y viceversa, la relación y el predicado se denotan a menudo con el mismo símbolo. Así pues, por ejemplo, las dos proposiciones siguientes se consideran como equivalentes:

$R(x_1,x_2,\ldots , x_n)$

$(x_1,x_2,\ldots , x_n) \in R$

SUPTIPOS:Las relaciones se clasifican según el número de conjuntos en el producto cartesiano; en otras palabras, el número de términos en la expresión:

Relación unaria: R(x).

Relación binaria: R(x, y).

Relación ternaria: R(x, y, z).

Relación cuaternaria: R(x, y, z, t).

Las relaciones con más de 4 términos generalmente se llaman n-arias; por ejemplo "una relación 5-aria".
Relaciones de Equivalencia.
Sea A un conjunto no vacío y R una relación en A. R es una relación de equivalencia en A, si R es reflexiva, simétrica y transitiva en A. Clasificación por tipos de Relaciones
Reflexiva La relación R del ejemplo anterior dada por: R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}
Se dice que es reflexiva por que cada elemento x ∈ X, (x, x) ∈ R; los pares ordenados (1, 1), (2, 2), (3, 3) y (4, 4) están en R. Si observamos la di gráfica de la relación reflexiva, encontramos que tiene un lazo sobre cada vértice.

SimétricaTomando la relación R del ejemplo anterior dada por: R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}
“no es simétrica”, por cuanto no cumple la definición que dice: “si para cada x, y ∈ X, si (x, y) ∈ R, entonces (y, x) ∈ R”.
Anti-simétrica
Tomando la relación R del ejemplo anterior dada por:
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}
“la relación R sobre el conjunto X es anti simétrica”, por cuanto cumple la definición que dice para toda: “x, y X, si (x, y) ∈ R y x ≠ y, entonces (x, y) ∉ R”. Específicamente tenemos (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4) pertenecen a R, pero (2, 1), (3, 1), (4, 1), (3, 2), (4, 2), (4, 3) no pertenecen a R.
Transitiva
Tomando la relación R del ejemplo anterior dada por:
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}
“es una relación transitiva R sobre el conjunto X”, por cuanto cumple la definición que dice: “x, y, z ∈ X, si (x, y) y (y, z) ∈ R, entonces (x, z) ∈ R”.
Específicamente tenemos (1, 2), (2, 3) se tiene (1, 3); (1, 3), (3, 4) se tiene (1, 4); (2, 3), (3, 4) se tiene (2, 4) todos pertenecen a R.

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